Exam-FAQs

Rappresentazioni Ingresso-Stato-Uscita

Risposta libera e risposta forzata

Il candidato dovrà ricavare le espressioni delle due risposte. Potranno essere mostrati i legami con le analoghe espressioni della rappresentazione ingresso-uscita (FdT) ed in particolare potrà essere illustrato un metodo di calcolo dell’esponenziale di matrice mediante la trasformata di Laplace.

Calcolo di exp(At) conautovalori ed autovettori

Si dovrà illustrare come, attraverso il calcolo degli autovalori e degli autovettori di una matrice, sia possibile eseguire più facilmente il calcolo dell’esponenziale di matrice.

Passaggio dalla FdT alla forma diagonale o alla forma canonica di Jordan mediante decomposizione in poli e residui

Il candidato deve mostrare come attraverso la decomposizione in poli e residui il sistema nella rappresentazione ingresso-uscita possa essere posto come somma di catene di poli semplici che danno origine a blocchi di Jordan di ordine pari alla lunghezza delle catene. In particolare, in caso di poli distinti, il sistema risulterà espresso in una forma diagonale.

Passaggio dalla FdT alla forma canonica compagna

Il candidato deve dimostrare che è sempre possibile passare da una rappresentazione ingresso-uscita ad una particolare rappresentazione ingressso-stato-uscita, illustrando le caratteristiche salienti di quest’ultima.

Passaggio dalla rappresentazione VdS alla FdT

E’ richiesto di ricavare l’espressione che fornisce la matrice di funzioni di trasferimento tra gli ingressi e le uscite di un sistema rappresentato nello spazio di stato. Dovranno essere evidenziate le problematiche relative a possibili cancellazioni di dinamiche e la corrispondenza tra i poli e gli autovalori di un sistema.

Cambiamenti di coordinate

Deve essere illustrato come con la sostituzione x=Tz si arrivi ad una rappresentazione equivalente in termini di autovalori. Sarà utile a tal scopo illustrare il Teorema di Cayley-Hamilton sul polinomio caratteristico.

Cambiamenti di coordinate per la forme canonica compagna (di controllore)

E’ richiesto di illustrare il particolare cambiamento di variabile che consente, sotto alcune condizioni, di porre un sistema nella forma canonica compagna (di controllore)

Diagonalizzazione (disaccoppiamento delle dinamiche)

Il candidato dovrà introdurre il tema delle trasformazioni di coordinate, ed in particolare illustrare quella basata sul calcolo degli autovalori ed autovettori e quindi in grado di diagonalizzare un sistema. Dovranno essere discussi i vantaggi di questa nuova rappresentazione disaccoppiata delle dinamiche.

Definizione di stato e di sistema controllabile

Dovranno essere fornite le definizioni di stato controllabile e di sistema controllabile, la condizione necessaria e sufficiente (questa con dimostrazione) affinché un sistema sia tutto controllabile e la sua relazione con la matrice di raggiungibilità.

Decomposizione di Kalman nei sottosistemi controllabile e non

Il candidato dovrà definire la trasformazione in grado di decomporre tutto lo spazio di stato nei sottospazi controllabile e non controllabile dandone la forma canonica di Kalman.

Definizione di stato osservabile e di sistema osservabile

Dovrà essere fornita la definizione di stato indistinguibile dall’origine e di sottospazi/sistemi osservabili e non osservabili. Dalla definizione dovrà essere ricavata la matrice di osservabilità.

Decomposizione di Kalman nei sottosistemi osservabile e non

Il candidato dovrà definire la trasformazione in grado di decomporre tutto lo spazio di stato nei sottospazi osservabile e non osservabile dandone la forma canonica di Kalman.

Assegnazione degli autovalori con reazione dallo stato

Il candidato dovrà mostrare come, sotto opportune ipotesi di controllabilità, sia possibile trovare una matrice di controreazione dallo stato in grado di assegnare un nuovo polinomio caratteristico ad un sistema espresso sotto forma canonica compagna, prima, ed in generale, poi.

Assegnazione degli autovalori con reazione dall’uscita Il candidato dovrà mostrare come, sotto opportune ipotesi di controllabilità e di osservabilità, sia possibile costruire un nuovo sistema dinamico (osservatore) in grado di inseguire con una certa dinamica le traiettorie dello stato e quindi, tramite una matrice costante, assegnare gli autovalori più opportuni alle dinamiche del sistema originario.

Regolazione dell’uscita con l’ipotesi di misurabilità dello stato, con e senza estensione dinamica dello stato
Il regolatore dell’uscita con retroazione dall’errore di Francis
Controllo Ottimo

Stima Bayesiana: il filtro di Kalman

Sistemi a Segnali Campionati (NO)

Teorema del campionamento (spettro di un segnale campionato, ricostruttore di Shannon)

Dovrà essere introdotto il concetto di segnale campionato rappresentato come sequenza di impulsi e quindi, dopo averne ricavato la trasformata di Fourier, il candidato dovrà mostrare come sia possibile, sotto opportune ipotesi, ricostruire il segnale di continuo di partenza tramite il ricostruttore ideale di Shannon. Dovranno essere messe in evidenza tutte le problematiche collegate a tale ricostruttore e quali difficoltà si incontrano nel momento in cui si pensi di utilizzare l’organo di tenuta di ordine zero al suo posto. Dovrà essere illustrato il problema dell’aliasing e come possa essere evitato in un sistema di controllo a segnali campionati.

Organo di tenuta

Il candidato dovrà ricavare la funzione di trasferimento dell’organo di tenuta e la sua approssimazione a basse frequenze evidenziando le problematiche associate al suo uso in un sistema di controllo a segnali campionati.

Trasformata Z

Dovrà essere fornita la definizione di trasformata Z per una sequenza di campioni e come essa possa essere proficuamente utilizzata nell’analisi di un sistema di controllo a segnali campionati.

Trasformazione esatta da F(s) adF(z)

Il candidato dovrà mostrare come sia possibile ricavare la funzione di trasferimento discreta di un sistema campionato partendo dalla sua rappresentazione ingresso-uscita. Dovrà essere illustrato il metodo della decomposizione in poli e residui.

Mapping dal piano S al piano Z

Data la trasformazione esatta tra s e z, il candidato dovrà mostrare la corrispondenza tra il semipiano sinistro del piano S con il domino definito sul piano Z contenuto all’interno della circonferenza unitaria.

Modi propri d’evoluzione di un sistema discreto

Il candidato dovrà analizzare i modi propri di un sistema discreto, facendo riferimento alle loro evoluzioni in funzione della posizione dei poli sul piano Z.

Trasformazioni approssimate dal piano S al piano Z

Dovranno essere illustrate le tecniche approssimate per trasformare una funzione di trasferimento continua in una discreta, ricavandone le opportune espressioni come approssimazione dell’integrale e mostrandone i limiti di utilizzo in funzione delle loro proprietà di mappatura del semipiano sinistro del piano S sul piano Z.

Metodologie di sintesi di sistemi di controllo a segnali campionati

Il candidato dovrà illustrare le due principali metodologie  di sintesi dei regolatori discreti, ovvero, quella che fa riferimento discretizzazione di controllori sintetizzati nel continuo, e quella che, a partire dalla discretizzazione del processo da controllare, si muove su tecniche di sintesi  proprie dei sistemi discreti.

Scelta del tempo di campionamento

Il candidato dovrà illustrare come la scelta del tempo di campionamento non sia soltanto legata al soddisfacimento del teorema di Shannon, ma anche a problematiche che riguardano, tra le altre cose, il passo di quantizzazione e la lunghezza di parola del processore utilizzato.

Complementi sui sistemi non-lineari

Stabilità dei sistemi non lineari stazionari e autonomi

Dovranno essere definiti analiticamente i concetti di stabilità semplice, asintotica ed esponenziale (locali e globali) per un sistema stazionario ed autonomo non lineare.

Criterio di stabilità di Lyapunov

Dovrà essere illustrato il criterio di stabilità partendo dalla definizione di una funzione dello stato definita positiva. Potranno essere forniti alcuni esempi di costruzione di funzioni di Lyapunov collegate all’energia totale di un sistema.

Linearizzazione intorno ad un punto d’equilibrio Spesso i sistemi non lineari devono operare nell’intorno di un punto d’equilibrio. Il candidato deve ricavare la descrizione lineare del sistema, valida in questo intorno, sfruttando l’espansione in serie di Taylor. Si deve poi accennare alla relazione tra la stabilità del sistema linearizzato e quella del sistema non lineare di partenza.

Feedback linearizzazione

Controllo Iterativo

Model Predictive Control