Exam FAQs

Complementi sui sistemi non-lineari

  
Stabilità dei sistemi non lineari stazionari e autonomi Dovranno essere definiti analiticamente i concetti di stabilità semplice, asintotica ed esponenziale (locali e globali) per un sistema stazionario ed autonomo non lineare. Dovrà, inoltre, essere definita la stabilità BIBO.
Criterio di stabilità di Lyapunov Dovrà essere illustrato il criterio di stabilità partendo dalla definizione di una funzione dello stato definita positiva. Potranno essere forniti alcuni esempi di costruzione di funzioni di Lyapunov collegate all’energia totale di un sistema.
Linearizzazione intorno ad un punto d’equilibrio

Spesso i sistemi non lineari devono operare nell’intorno di un punto d’equilibrio. Il candidato deve ricavare la descrizione lineare del sistema, valida in questo intorno, sfruttando l’espansione in serie di Taylor. Si deve poi accennare alla relazione tra la stabilità del sistema linearizzato e quella del sistema non lineare di partenza.

Sintesi in frequenza  
Luogo delle radici  
Rappresentazioni Ingresso-Stato-Uscita  
Risposta libera e risposta forzata Il candidato dovrà ricavare le espressioni delle due risposte. Potranno essere mostrati i legami con le analoghe espressioni della rappresentazione ingresso-uscita (FdT) ed in particolare potrà essere illustrato un metodo di calcolo dell’esponenziale di matrice mediante la trasformata di Laplace.
Calcolo di exp(At) con autovalori ed autovettori

Si dovrà illustrare come, attraverso il calcolo degli autovalori e degli autovettori di una matrice, sia possibile eseguire più facilmente il calcolo dell'esponenziale di matrice.
Passaggio dalla FdT alla forma diagonale o alla forma canonica di Jordan mediante decomposizione in poli e residui Il candidato deve mostrare come attraverso la decomposizione in poli e residui il sistema nella rappresentazione ingresso-uscita possa essere posto come somma di catene di poli semplici che danno origine a blocchi di Jordan di ordine pari alla lunghezza delle catene. In particolare, in caso di poli distinti, il sistema risulterà espresso in una forma diagonale.
Passaggio dalla FdT alla forma canonica compagna Il candidato deve dimostrare che è sempre possibile passare da una rappresentazione ingresso-uscita ad una particolare rappresentazione ingressso-stato-uscita, illustrando le caratteristiche salienti di quest’ultima.
Passaggio dalla rappresentazione VdS alla FdT E’ richiesto di ricavare l’espressione che fornisce la matrice di funzioni di trasferimento tra gli ingressi e le uscite di un sistema rappresentato nello spazio di stato. Dovranno essere evidenziate le problematiche relative a possibili cancellazioni di dinamiche e la corrispondenza tra i poli e gli autovalori di un sistema.
Cambiamenti di coordinate

Deve essere illustrato come con la sostituzione x=Tz si arrivi ad una rappresentazione equivalente in termini di autovalori. Sarà utile a tal scopo illustrare il Teorema di Cayley-Hamilton sul polinomio caratteristico.
Cambiamenti di coordinate per la forme canonica compagna (di controllore)

E' richiesto di illustrare il particolare cambiamento di variabile che consente, sotto alcune condizioni, di porre un sistema nella forma canonica compagna (di controllore)
Diagonalizzazione (disaccoppiamento delle dinamiche)

Il candidato dovrà introdurre il tema delle trasformazioni di coordinate, ed in particolare illustrare quella basata sul calcolo degli autovalori ed autovettori e quindi in grado di diagonalizzare un sistema. Dovranno essere discussi i vantaggi di questa nuova rappresentazione disaccoppiata delle dinamiche.

Definizione di stato e di sistema controllabile Dovranno essere fornite le definizioni di stato controllabile e di sistema controllabile, la condizione necessaria e sufficiente (questa con dimostrazione) affinché un sistema sia tutto controllabile e la sua relazione con la matrice di raggiungibilità.
Decomposizione di Kalman nei sottosistemi controllabile e non Il candidato dovrà definire la trasformazione in grado di decomporre tutto lo spazio di stato nei sottospazi controllabile e non controllabile dandone la forma canonica di Kalman.
Definizione di stato osservabile e di sistema osservabile Dovrà essere fornita la definizione di stato indistinguibile dall’origine e di sottospazi/sistemi osservabili e non osservabili. Dalla definizione dovrà essere ricavata la matrice di osservabilità.
Decomposizione di Kalman nei sottosistemi osservabile e non Il candidato dovrà definire la trasformazione in grado di decomporre tutto lo spazio di stato nei sottospazi osservabile e non osservabile dandone la forma canonica di Kalman.
Assegnazione degli autovalori con reazione dallo stato

Il candidato dovrà mostrare come, sotto opportune ipotesi di controllabilità, sia possibile trovare una matrice di controreazione dallo stato in grado di assegnare un nuovo polinomio caratteristico ad un sistema espresso sotto forma canonica compagna, prima, ed in generale, poi.

Assegnazione degli autovalori con reazione dall’uscita Il candidato dovrà mostrare come, sotto opportune ipotesi di controllabilità e di osservabilità, sia possibile costruire un nuovo sistema dinamico (osservatore) in grado di inseguire con una certa dinamica le traiettorie dello stato e quindi, tramite una matrice costante, assegnare gli autovalori più opportuni alle dinamiche del sistema originario.
Il test di Popov-Belevitch-Hautus Il candidato dovrà conoscere l'enunciato del teorema che riguarda la possibiità di determinare direttamente la controllabilità o l'osservabilità di una dinamica
Stabilizzabilità e Rilevabilità Il candidato dovrà conoscere le due definizioni
Spostamento di singole dinamiche Il candidato dovrà illustrare come, tramite l'uso degli autovettori sinistri, sia possibile spostare una sola dinamica alla volta. Si dovrà mostrare, inoltre, come In caso di sistema a più ingressi la stessa tecnica può essere utilizzata per minimizzare lo sforzo di controllo.
Regolazione dell'uscita con l'ipotesi di misurabilità dello stato, con e senza estensione dinamica Il candidato dovrà mostrare in cosa consiste il problema della regolazione dell'uscita e dovrà mostrare la sual soluzione sotto l'ipotesi di informazione completa (misurabilità dello stato). In particolare dovrà mostrare come, per certi sistemi, avere errore nullo a regime comporta l'introduzione di una estensione dinamica.
Il regolatore dell'uscita con retroazione dall'errore di Francis Il candidato dovrà impostare il problema della regolazione dell'uscita con retroazione dall'errore spiegando in cosa consiste l'esosistema e come le dinamiche di questo si possano ritrovare nel regolatore stesso. Il cndidato dovrà conoscere l'enunciato dei teoremi per poter stabilire le condizioni sufficienti alla risolvibilità del problema.