
%-----------------------------------------------------------------
\section{Regolazione dell'uscita con reazione dall'errore}
\label{sect:regolatore}

%%%FIGURA!!!!!!!!
\myfigure{7} {fig/reg1} {Sistema di controllo con reazione dinamica} {figreg1}


Vediamo adesso di affrontare in maniera più generale il problema della regolazione dell'uscita a un valore desiderato in presenza di disturbi e tramite un compensatore di tipo dinamico. Lo schema a cui facciamo riferimento è quello della Fig. \ref{figreg1}. Supponiamo pure che il processo da regolare venga descritto dalle equazioni
\begin{equation}
\left\{ {\begin{array}{*{20}l}
   {\dot x = Ax + Bu + Pz}  \\
   {y = Cx + Qz}  \\
 \end{array} } \right.
\label{regsys1}
\end{equation}
L'errore da azzerare asintoticamente rimarrà definito come
\[
e=-Cx-Qz+y_d.
\]
Per arrivare a una notazione più compatta, che ci consentirà di trattare in maniera unificata segnali di riferimento e disturbi, possiamo supporre che entrambi questi {\it ingressi} siano generati da un unico sistema esterno, detto {\it esosistema}. Questo approccio ci permette di restringere il problema della regolazione a delle classi di ingressi e di disturbi noti a priori.

Riformuliamo, allora, il problema della regolazione nel seguente modo: Supponiamo di poter definire un esosistema
\[
\dot w=Sw
\]
il cui stato $w$ fornisca disturbo $z$ e riferimento $y_d$ in modo che il temine $-Qz+y_d$ possa essere espresso come $\tilde Q w$, e l'errore come
\[
e=\tilde Cx+\tilde Q w
\]
con $\tilde C=-C$ e $\tilde Q$ matrici opportune.

Il sistema (\ref{regsys1}) potrà essere riscritto, allora, come
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}l}
   {\dot x = Ax + Bu + \tilde Pw}  \\
   {e=\tilde Cx+\tilde Q w}  \\

 \end{array} } \right.
\label{regsys2}
\]
con $\tilde P=(P \quad 0)$. 

Facciamo alcuni esempi per capire meglio questa formulazione:
\begin{itemize}
\item Uscita desiderata costante pari a $K_d$ e disturbo costante sull'uscita pari a $z_0$. Dovremo creare un esosistema con un autovalore in zero e scegliere le matrici $\tilde P$ e $\tilde Q$ come segue:
\[
S = \left( 0 \right),\tilde P = \left( 1 \right),\tilde Q = \left(1 \right)
\]
e stato iniziale pari a 
\[
w_0  = 1.
\]

\item Riferimento a rampa $C_1 t$ e disturbo costante. Per produrre l'ingresso a rampa abbiamo bisogno di una cascata di integratori:
\[
S = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 1  \\
   0 & 0  \\

 \end{array} } \right),
 %
 \tilde P = \left( 
 {\begin{array}{*{20}c}
    0 & 1  \\
 \end{array} } \right)
 %
 \tilde Q = 
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 \\
 \end{array} } \right)
\]
inizializzati a
\[
w_0  = \left( {\begin{array}{*{20}l}
   0  \\
   1  \\
 \end{array} } \right)
\]


\item Riferimento sinusoidale $y_d(t)=sin(\omega t)$ e nessun disturbo. In questo caso è \[
S = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & \omega   \\
   { - \omega } & 0  \\

 \end{array} } \right),\tilde P = \left( 0 \quad 0\right),\tilde Q = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   -1 & 0  \\
 \end{array} } \right)
\]
con stato iniziale
\[
w_0  = \left( {\begin{array}{*{20}l}
   0  \\
   1  \\
 \end{array} } \right).
\]


\end{itemize}


\subsection{Definizione del problema}
\label{sec_def_prob_reg}

Con riferimento alla Fig. \ref{figreg2}, e tenendo presente le considerazioni sopra fatte, formuliamo il problema della regolazione dell'uscita con reazione dall'errore in questo modo:

\begin{problem}
\label{prob1}
{\em (del Regolatore).} Sia dato un processo descritto dalle matrici di stato
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}l}
   {\dot x = Ax + Bu + Pw}  \\
   {e= Cx+ Q w}  \\
 \end{array} } \right.
\label{regsys}.
\]
Supponiamo che sia il segnale di riferimento, sia  il disturbo siano generati da un unico esosistema del tipo
\[
\dot w=Sw
\label{regeso},
\]
ed il controllore possa essere un sistema dinamico del tipo
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}l}
   {\dot \xi = F\xi + Ge}  \\
   {u= H\xi}  \\
 \end{array} } \right.
\label{regcontr}.
\]
Si vuole risolvere il problema del regolatore in modo che siano verificate le seguenti condizioni:
\end{problem}


%%%FIGURA!!!!!!!!
\myfigure{7} {fig/reg2} {Schema del regolatore con reazione dall'errore} {figreg2}

\begin{condition}
\label{cond1}
{\em (Stabilità del ciclo chiuso).} Il sistema complessivo a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile, ovvero la matrice
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & {BH}  \\
   {GC} & F  \\
 \end{array} } \right)
\]
abbia tutti gli autovalori a parte reale negativa.
\end{condition}

\begin{condition}
\label{cond2}
{(\em Convergenza a zero dell'errore}). L'evoluzione dell'errore $e$ a partire da qualsiasi stato iniziale $(x_0, \xi_0, w_0)$ sia convergente a zero, ovvero
\[
\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } [Cx(t) + Qw(t)] = 0.
\]
\end{condition}


Formuliamo adesso alcune ipotesi aggiuntive che serviranno a rendere risolvibile il problema:

\begin{hypothesis1}
\label{hyp1}
L'esosistema è antistabile, ovvero la matrice $S$ possiede solo autovalori a parte reale nulla o positiva.
\end{hypothesis1}
Questa ipotesi non è limiatativa in quanto le classi di ingressi e di disturbi normalmente considerate soddisfano sempre questa condizione.

\begin{hypothesis1}
\label{hyp2}
La coppia $(A,B)$ è stabilizzabile.
\end{hypothesis1}
Questa seconda condizione ci assicurerà di poter spostare nel semipiano sinistro le dinamiche, eventualmente instabili, presenti nel processo o nel compensatore.




%--------------------------------------------------
\subsection{Esistenza della soluzione del regolatore}

Vediamo adesso un lemma che ci assicura l'esistenza di una soluzione. Ipotizzeremo qui che il sistema a ciclo chiuso sia stabile, salvo poi mostrare più avanti un metodo per stabilizzarlo.

\begin{lemma}
\label{reglemma1}
Supponiamo che sia soddisfatta l'ipotesi \ref{hyp1} e che la condizione \ref{cond1} sia vera.
Allora, se e solo se esistono due matrici $\Pi$ e $\Sigma$ che risolvano le seguenti equazioni
\begin{eqnarray}
  \Pi S &=& A\Pi  + BH\Sigma  + P \hfill \label{lcond1}\\
  \Sigma S &=& F\Sigma  \hfill \label{lcond2}\\
  0 &=& C\Pi  + Q \hfill \label{lcond3},
\end{eqnarray}
la condizione \ref{cond2} sarà soddisfatta.
\end{lemma}
\emph{Dimostrazione:}
Sommiamo le equazioni (\ref{lcond2}) e (\ref{lcond3}), la seconda moltiplicata per $G$, per ricavare la
\[
\Sigma S=F \Sigma+G(C \Pi+Q)
\]
e questa, con la (\ref{lcond1}) fornisce l'equazione matriciale
\begin{equation}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   \Sigma   \\

 \end{array} } \right)S = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & {BH}  \\
   {GC} & F  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   \Sigma   \\

 \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   P  \\
   {GQ}  \\

 \end{array} } \right)
 \label{regsylv}
\end{equation}
che ha una forma paricolare (equazione di Sylvester) e ammette soluzione unica (vedi sezione \ref{secsylvester}) in base all'ipotesi \ref{hyp1} e la condizione \ref{cond1} che garantiscono la seguente separazione tra gli spettri:
\[
\sigma (S) \cap \sigma \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & {BH}  \\
   {GC} & F  \\
 \end{array} } \right) = \emptyset.
\]

D'altro canto il sistema complessivo processo+esosistema+controllore si può scrivere come
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\dot x}  \\
   {\dot \xi }  \\
   {\dot w}  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & {BH} & P  \\
   {GC} & F & {GQ}  \\
   0 & 0 & S  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   \xi   \\
   w  \\

 \end{array} } \right)
\]
ovvero, ponendo $x_c=(x, \xi, w)$ e chiamando $A_c$ la matrice di stato,
\[
\dot x_c=A_c x_c.
\]
Operiamo ora una trasformazione con una matrice T definita come
\[
T = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   I & 0 & \Pi   \\
   0 & I & \Sigma   \\
   0 & 0 & I  \\

 \end{array} } \right).
\]
La nuova matrice di stato diventerà
\[
\tilde A_c  = T^{ - 1} A_c T = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\begin{array}{*{20}c}
   A & {BH}  \\
   {GC} & F  \\

 \end{array} } & {\begin{array}{*{20}c}
   {A\Pi  + BH + P - \Pi S}  \\
   {GC\Pi  + F\Sigma  + GQ - \Sigma S}  \\

 \end{array} }  \\
   {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0  \\

 \end{array} } & S  \\

 \end{array} } \right)
\]
e, sfruttando le (\ref{lcond1}), (\ref{lcond2}) e (\ref{lcond3}), avremo
\[
\tilde A_c  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\begin{array}{*{20}c}
   A & {BH}  \\
   {GC} & F  \\

 \end{array} } & {\begin{array}{*{20}c}
   0  \\
   0  \\

 \end{array} }  \\
   {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 0  \\

 \end{array} } & S  \\

 \end{array} } \right).
\]
A questo punto, a partire da un qualsiasi stato iniziale $x_c^0$, l'evoluzione dell'errore sarà data da
\[
e = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C & 0 & Q  \\

 \end{array} } \right)x_c^0  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C & 0 & Q  \\

 \end{array} } \right)T\tilde x_c^0  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   C & 0 & {C\Pi+Q}  \\
 \end{array} } \right)\tilde x_c^0 
\]
ed a causa della condizione \ref{cond1}, che assicura la stabilità asintotica del primo sottospazio della $A_c$, e della (\ref{lcond3}), potremo concludere che la condizione \ref{cond2} è soddisfatta.
$\ddag$

\vskip 0.5cm

Una considerazione che può essere subito fatta è la seguente: prendiamo il compensatore la cui dinamica è data dalla matrice F. Supponendo che la dimensione del controllore sia maggiore o uguale della dimensione dell'esosistema le colonne di $\Sigma$ risulteranno linearmente indipendenti ed è quindi possibile immaginare una trasformazione di coordinate T fatta come
\[
T = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Sigma  & \Lambda   \\

 \end{array} } \right)
\]
con $\Lambda$ matrice di completamento di base. Nella nuova base avremo una matrice
\[
\tilde F=T^{-1}F T
\]
da cui $F T=T \tilde F$ che, utilizzando la (\ref{lcond2}), ci consente di dedurre che $\tilde F$ assumerà una forma del tipo
\[
\tilde F = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   S & \ast  \\
   0 & \ast  \\

 \end{array} } \right).
\]
Questo significa che la soluzione al problema del regolatore è tale contenere una replica dell'esosistema nel compensatore stesso ({\it principio del modello interno}).



%--------------------------------------------------
\subsection{Soluzione particolare}

Introduciamo ora altre due ipotesi che ci consentiranno di arrivare rapidamente a formulare un controllore in grado di soddifare allo stesso tempo sia le ipotesi del lemma \ref{reglemma1} (e di conseguenza anche la condizione \ref{cond2}), sia la condizione \ref{cond1}.


\begin{hypothesis1}
\label{hyp3}
La coppia di matrici
\[
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & P  \\
   0 & S  \\

 \end{array} } \right)
,
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   C & Q  \\

 \end{array} } \right)
\]
è osservabile
\end{hypothesis1}
questa ipotesi è più retrittiva della semplice seguente ipotesi


\begin{hypothesis1}
\label{hyp3bis}
La coppia di matrici
\[
(A,C)
\]
è osservabile
\end{hypothesis1}


L'ipotesi \ref{hyp3} in realtà non è strettamente necessaria. La consideriamo valida per semplificare la trattazione. Notiamo infatti che la stessa implica sicuramente l'ipotesi \ref{hyp3bis}. Supponiamo allora che solo la seconda sia verificata: la presenza di dinamiche non osservabili dovrà essere circoscritta, a questo punto, al solo esosistema. Ma affermare che alcune dinamiche dell'esosistema non hanno influenza sull'uscita (che a questo punto è l'errore di inseguimento) significa affermare che per queste dinamiche il problema di regolazione è già risolto o, quanto meno, non si pone affatto. Nel caso, perciò, di non soddisfacimento dell'ipotesi \ref{hyp3} ci si può accontentare del soffisfacimento della \ref{hyp3bis}.


\begin{hypothesis1}
\label{hyp4}
Esiste una coppia di matrici  $\Pi$ e $\Gamma$ che risolvono le equazioni del regolatore di Francis:
\begin{eqnarray}
  \Pi S &=& A\Pi  + B\Gamma  + P \hfill \label{francis1}\\
  0 &=& C\Pi  + Q \hfill \label{francis2}.
\end{eqnarray}
\end{hypothesis1}

Per il soddisfacimento dell'ipotesi \ref{hyp4} si veda la sezione \ref{secsylvester}.

Scegliamo a questo punto le matrici del compensatore. Notiamo che questa che viene data è solo una possibile soluzione.

\begin{assumption}
\label{ass1}
Scegliamo una soluzione del problema del regolatore nella forma:
\begin{eqnarray}
  G &=& \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {G_0 }  \\
   {G_1 }  \\

 \end{array} } \right),\quad H = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   K & {\Gamma  - K\Pi }  \\

 \end{array} } \right) \hfill \\
  F &=& \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & P  \\
   0 & S  \\

 \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
   B  \\
   0  \\

 \end{array} } \right)H - G\left( {\begin{array}{*{20}c}
   C & Q  \\

\end{array} } \right) \hfill
\end{eqnarray}.
\end{assumption}


\begin{assumption}
\label{ass2}
scegliamo la matrice $\Sigma$ della forma
\[
\Sigma  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   I  \\

 \end{array} } \right)
\]
\end{assumption}


\begin{theorem}
\label{regtheo1}
Supponiamo valide le ipotesi \ref{hyp1}, \ref{hyp2} e \ref{hyp3}.  Il problema della regolazione dell'uscita con reazione dall'errore ammette una soluzione se e solo se è valida l'ipotesi \ref{hyp4}. Una soluzione particolare sarà data dal controllore descritto nella assunzione \ref{ass1}.
\end{theorem}

\emph{Dimostrazione:}
Verifichiamo la condizione \ref{cond1}: sostuendo le tre matrici proposte nella assunzione \ref{ass1} abbiamo
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & {BH}  \\
   {GC} & F  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & {BK} & {B(F - K\Pi )}  \\
   {G_0 C} & {A - G_0 C + BK} & {P - G_0 Q + B(\Gamma  - K\Pi )}  \\
   {G_1 C} & { - G_1 C} & {S - G_1 Q}  \\

 \end{array} } \right)
\]
che, con una trasformazione $T$ definita come
\[
T = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   I & 0 & 0  \\
   I & I & 0  \\
   0 & 0 & I  \\

 \end{array} } \right)
\]
diventa
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {A + BK} & {BK} & {B(\Gamma - K\Pi )}  \\
   0 & {A - G_0 C} & {P - G_0 Q}  \\
   0 & { - G_1 C} & {S - G_1 Q}  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {A + BK} & {\begin{array}{*{20}c}
   {BK} & {B(F - K\Pi )}  \\

 \end{array} }  \\
   {\begin{array}{*{20}c}
   0  \\
   0  \\

 \end{array} } & {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & P  \\
   0 & S  \\

 \end{array} } \right) - G\left( {\begin{array}{*{20}c}
   C & Q  \\

 \end{array} } \right)}  \\

 \end{array} } \right)
\]
che può essere stabilizzata con una scelta opportuna di $K$, grazie all'ipotesi \ref{hyp2}, e di $G$, grazie all'ipotesi \ref{hyp3}.

Dimostriamo adesso che, con questa scelta del compensatore, sono vere le ipotesi del lemma \ref{reglemma1}. Prendiamo allora la matrice $\Pi$ soluzione delle equazioni di Francis (\ref{francis1}) e (\ref{francis2}), e poniamo
\[
\Sigma  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   I  \\

 \end{array} } \right).
\]
Vediamo cosa succede alle (\ref{lcond1}-\ref{lcond3}):

\begin{itemize}
\item Prendiamo la \ref{lcond1} e sostituiamo la definizione di $\Sigma$:
\[
\Pi S = A\Pi  + B\left( {\begin{array}{*{20}c}
   K & {\Gamma  - K\Pi }  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   I  \\

 \end{array} } \right) + P
\]
che diventa
\[
\Pi S = A\Pi  + B\Gamma  + P
\]
ovviamente coincidente con la \ref{francis1}.


\item Scriviamo la (\ref{lcond2}) e riscriviamola sistituendo $\Sigma$
\[
\left( {\begin{array}{*{20}l}
   \Pi   \\
   I  \\

 \end{array} } \right)S = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {A + BK - G_0 C} & {P - G_0 Q + B(\Gamma  - K\Pi )}  \\
   { - G_1 C} & {S - G_1 Q}  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   I  \\

 \end{array} } \right)
\]
Questa può essere calcolata e darà luogo al sistema
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}l}
   {\Pi S = A\Pi  + BK\Pi  - G_0 C\Pi  + P - G_0 Q + B(\Gamma  - K\Pi )}  \\
   {S =  - G_1 C\Pi  + S - G_1 Q}  \\

 \end{array} } \right.
\]
che, semplificato, fornisce
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}l}
   {\Pi S = A\Pi  + B\Gamma  + P}  \\
   {S = S}  \\
 \end{array} } \right. .
\]
La prima è la (\ref{francis1}) e la seconda è ovviamente vera.$\ddag$

\end{itemize}


%--------------------------------------------------
\subsection{Equazioni di Sylvester e del regolatore}
\label{secsylvester}

Riprendiamo l'equazione (\ref{regsylv}) e notiamo che si tratta di un'equazione che può essere scritta nella forma:
\begin{equation}
AX - XS = R,
\label{regsylv2}
\end{equation}
prendendo il nome di {\it equazione di Sylvester} con $A$ e $S$ matrici quadrate ed $R$ matrice compatibile.

Invece, le equazioni del regolatore di Francis
\begin{eqnarray}
  \Pi S &=& A\Pi  + B\Gamma  + P \hfill \label{francis1bis}\\
  0 &=& C\Pi  + Q \hfill \label{francis2bis}.
\end{eqnarray}
possono essere riorganizzate e scritte come
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - P}  \\
   { - Q}  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   C & 0  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   \Gamma  \\

 \end{array} } \right) - \left( {\begin{array}{*{20}c}
   I & 0  \\
   0 & 0  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   \Gamma  \\
 \end{array} } \right)S,
\]
ovvero, con le opportune posizioni,
\begin{equation}
A_1X-A_2XS=R.
\label{regsylv3}
\end{equation}

In realtà, sia le (\ref{francis1bis}) e (\ref{francis2bis}), sia la (\ref{regsylv3}), sono forme particolari della più generale equazione di Hautus:
\begin{equation}
A_1 X q_1(S)+\dots+A_k Xq_k(S)=R,
\label{reghautus}
\end{equation}
con $A_i$ matrici $n\times m$, per la cui risolvibilità vale il seguente teorema:

\begin{theorem}
\label{regtheohautus}
L'equzione di Hautus (\ref{reghautus}) e rilevibile se e solo se le righe della matrice
\begin{equation}
A(\lambda)=A_1 q_1(\lambda)+\dots+A_k q_k(\lambda)
\end{equation}
sono linearmente indipendenti per ogni $\lambda$ autovalore di $S$. Se poi $n=m$ allora la soluzione è unica. 
\end{theorem}

Particolarizzando il teorema \ref{regtheohautus} al caso dell'equazione di Sylvester (\ref{regsylv2}) possiamo scrivere:

\begin{corollario}
L'equazione di Sylvester \ref{regsylv2} è risolvibile quale che sia la matrice $R$, e la sua soluzione è unica, se e solo se
\[
\sigma(A)\cap\sigma(S)=\emptyset.
\]
\end{corollario}

Se invece usiamo il teorema \ref{regtheohautus} nel caso delle equazioni del regolatore di Francis abbiamo:

\begin{corollario}
\label{coro2}
Le equazioni del regolatore (\ref{francis1bis}) e (\ref{francis2bis}) sono risolvibili quali che siano le matrici $P$ e $Q$ se e solo se le righe della matrice
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {A - \lambda I} & B  \\
   C & 0  \\

 \end{array} } \right)
\]
sono linearmente indipendenti per ogni $\lambda$ che sia autovalore di $S$. Se poi il numero di colonne di $B$ è uguale al numero di righe di $C$ la soluzione è unica.
\end{corollario}


Infine, qualora fossimo interessati solo a riferimenti e disturbi di tipo costante, la matrice $S$ dell'esosistema assumerebbe la forma
\[
S = \left( 0 \right)
\]
ed il corollario \ref{coro2} richiederebbe semplicemente che la matrice
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {A} & B  \\
   C & 0  \\
 \end{array} } \right)
\]
avesse le righe indipendenti. Inoltre, le equazioni del regolatore si ridurrebbero a
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   C & 0  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   \Gamma  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - P}  \\
   { - Q}  \\

 \end{array} } \right)
\]
e se poi il numero di ingressi fosse pari al numero di uscite il vettore $(\Pi, \Gamma )$ si calcolerebbe semplicemente con la
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \Pi   \\
   \Gamma   \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   A & B  \\
   C & 0  \\

 \end{array} } \right)^{ - 1} \left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - P}  \\
   { - Q}  \\

 \end{array} } \right).
\]



%--------------------------------------------------
\subsection{Considerazioni conclusive sul regolatore di Francis}

Notiamo che il teorema \ref{regtheo1} fornisce delle condizioni necessarie e sufficienti in presenza di alcune ipotesi iniziali (le ipotesi \ref{hyp1}, \ref{hyp2} e \ref{hyp3}) unitamente alla possibilità si risolvere le equazioni del regolatore di Francis (\ref{francis1}) e (\ref{francis2}). Considerate nel loro complesso, sostituendo l'iptesi \ref{hyp3} con la \ref{hyp3bis}, e adoperando la condizione di risolvibilità delle equazioni del regolatore di Francis, il problema può essere riformulato nella seguente maniera:

\begin{theorem}
Supposte valide le ipotesi \ref{hyp1}, \ref{hyp2} e \ref{hyp3bis}, il problema del regolatore dell'uscita mediante reazione dalla stato ha una soluzione, costituita dalle equazioni della Assunzione \ref{ass1} con $\Pi$ e $\Gamma$ soluzioni della (\ref{regsylv3}), se le righe della matrice
\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {A - \lambda I} & B  \\
   C & 0  \\

 \end{array} } \right)
\]
sono linearmente indipendenti per ogni numero complesso $\lambda$ che sia autovalore di $S$.
\end{theorem}

Resta inteso che qualora l'ipotesi \ref{hyp3bis} non implicasse anche il soddisfacimento dell'ipotesi \ref{hyp3}, si tratterà di restringere il problema del regolatore al sottospazio di $S$ che risulta osservabile dall'errore.


