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Corsi di riferimento

Rappresentazioni ingresso-uscita nel dominio della frequenza

N.O.

FdA ( V.O.)

FdA ( 509 e 270 )

FdA ( V.O.)

Il controllo a catena aperta ed il controllo a controreazione

Dovrà essere illustrato il principio su cui si basano  le due tipologie di controllori, mettendo in evidenza pregi e difetti dei due approcci.

Regolazione ed asservimento

E' richiesto al candidato di definire le proprietà dei due sistemi di controllo

Proprietà linearizzante della controreazione

Il candidato deve mostrare come una caratteristica statica non lineare sia modificata da una controreazione ad elevato guadagno. Il discorso è ovviamente estensibile al caso dei controllori ad alto guadagno di sistemi, questa volta, dinamici (per esempio il pendolo).

La trasformata di Laplace

Il candidato deve definire la trasformata di Laplace di un segnale, la sua ascissa di convergenza e deve illustrare le trasformate di segnali elementari. Dovrà poi spiegare il metodo dei poli e residui per ottenere la antitrasformata di Laplace.

Modi propri d’evoluzione di un sistema lineare e stabilità di un sistema lineare

Il candidato deve conoscere le evoluzioni canoniche (esponenziali, oscillatorie, costanti) corrispondenti alle diverse configurazioni dei poli di un sistema lineare sul piano complesso S. Per ciascuna di esse deve essere illustrata la rappresentazione con la trasformata di Laplace ed il corrispettivo andamento nel tempo. Dovranno poi essere definite le proprietà di stabilità asintotica, limite di stabilità ed instabilità.

Risposta libera e risposta forzata

Il candidato deve sapere definire le due risposte e, dall’analisi e confronto dei modi propri di un sistema con quelli dell’ingresso, saper dedurre il tipo di uscita atteso.

La funzione di trasferimento

Il candidato dovrà mostrare come sia possibile applicare ad una equazione differenziale, rappresentante il comportamento di un sistema dinamico, la trasformata di Laplace e come sia possibile ricavare la funzione di trasferimento come elemento di collegamento tra la trasformata dell'ingresso e quella dell'uscita.

Risposta transitoria e permanente

Il candidato deve poter definire le due risposte e saperle distinguere dall’analisi dei modi dell’uscita. E’ richiesta la descrizione del teorema del valore finale.

Criterio di Routh

Illustrare il criterio di Routh e mostrare come possa essere utilizzato per sintetizzare un controllore proporzionale K.

Comportamento a regime: classificazione in tipi

Il candidato dovrà analizzare il comportamento di un sistema a regine permanente e valutare l’errore di inseguimento di un certo insieme di segnali canonici. Rimarranno definiti sia il tipo d’ingresso sia il tipo di sistema di controllo. Analizzando, poi, la posizione degli eventuali poli nell’origine presenti in catena diretta, potranno essere dedotti comportamenti statici e astatici in relazione alla presenza di disturbi nel loop di controreazione.

Reiezione dei disturbi

Il candidato dovrà illlustrare il concetto di Astatismo e mostrare il ruolo dei poli nell'origine nella reiezione di disturbi appartenenti alle classi canoniche (gradini, rampe, parabole).

Risposta armonica e sue rappresentazioni grafiche (Nyquist, Bode)

Il candidato deve mostrare analiticamente come l’uscita di un sistema lineare, al cui ingresso è applicato un segnale sinusoidale, sotto alcune ipotesi di partenza, sia ancora una sinusoide d’ampiezza e fase opportune. Si devono poi descrivere le due principali rappresentazioni grafiche della risposta stessa.

Sistemi a fase non minima

Illustrare i sistemi a fase non minima e mostrare la difficoltà che essi inducono nella sintesi di sistemi di controllo ad alto guadagno.

Sistemi con ritardo finito

Dopo avere illustrato uno o più esempi di sistemi con ritardo finito mostare la loro rappresentazione sul diagramam di Bode e giustificare le difficoltà indotte nella stabilizzazione di sistemi a ciclo chiuso che li comprendono.

Margini di stabilità (guadagno e fase)

Partendo dall’analisi della stabilità di un sistema a controreazione, il candidato dovrà definire, prima sul diagramma di Nyquist e poi su quello di Bode, i margini di guadagno e di fase dandone, infine, un’interpretazione pratica.

Criterio di stabilità di Nyquist

Partendo dal Teorema dell’Indicatore Logaritmico, il candidato dovrà applicarlo al computo del numero di poli a parte reale positiva (instabili) della funzione di trasferimento a ciclo chiuso di un sistema a controreazione. Verrà a tal scopo definito il percorso di Nyquist sul quale deve viaggiare la variabile complessa s e quindi ricavato il criterio di stabilità completo e ridotto di Nyquist.

 Funzione di sensibilità ed applicazione ai sistemi a controreazione

Dopo avere definito la funzione di sensibilità si calcolano la sensibilità diretta e quella complementare per illustrare il ruolo del guadagno di anello nella reiezione dei disturbi e la riproduzione dei segnali di riferimento.

Specifiche ad anello chiuso ed aperto per un sistema di controllo

Il candidato deve illustrare le specifiche progettuali che più frequentemente vengono usate nella sintesi dei sistemi di controllo a controreazione, sia che esse vengano fornite nel tempo (sovraelongazione, tempo di salita, tempo di assestamento, ...), sia che esse vengano fornite in frequenza (banda passante, modulo alla risonanza, ...). In particolare devono essere individuati i legami globali tra queste grandezze ed il loro effetto sui margini di stabilità e sulla pulsazione d’attraversamento.

Carta di Nichols

Il candidato deve illustrare la relazione analitica e grafica tra la funzione di trasferimento d’anello e quella a ciclo chiuso. Dovranno poi essere individuate sulla carta di Nichols le principali grandezze caratteristiche del comportamento del sistema di controllo.

Regolatori standard (PID)

Il candidato deve mostrare i benefici e le controindicazioni dei componenti elementari di un regolatore standard PID (proporzionale, integrale e derivativo).

Metodo di Ziegler-Nichols

Il candidato deve mostrare i due algoritmi proposti da Ziegler e Nichols per il calcolo di un regolatore P, PD, o PID. Dovrà poi dimostrare come questo tipo d’algoritmo sia implementabile in maniera automatica facendo ricorso ad una non linearità di tipo a relè inserita nell’anello di controllo al posto del regolatore.

Complementi sui sistemi non-lineari

V.O.

FdA ( V.O.)

Stabilità dei sistemi non lineari stazionari e autonomi

Dovranno essere definiti analiticamente i concetti di stabilità semplice, asintotica ed esponenziale (locali e globali) per un sistema stazionario ed autonomo non lineare. Dovrà, inoltre, essere definita la stabilità BIBO.

Criterio di stabilità di Lyapunov

Dovrà essere illustrato il criterio di stabilità partendo dalla definizione di una funzione dello stato definita positiva. Potranno essere forniti alcuni esempi di costruzione di funzioni di Lyapunov collegate all’energia totale di un sistema.

Linearizzazione intorno ad un punto d’equilibrio

Spesso i sistemi non lineari devono operare nell’intorno di un punto d’equilibrio. Il candidato deve ricavare la descrizione lineare del sistema, valida in questo intorno, sfruttando l’espansione in serie di Taylor. Si deve poi accennare alla relazione tra la stabilità del sistema linearizzato e quella del sistema non lineare di partenza.

Funzione descrittiva (Cicli limite di sistemi non lineari. Stabilità di un ciclo limite. Piano delle fasi)

Il candidato dovrà spiegare l’uso dell’espansione in serie di Fourier, troncata al primo ordine, nello studio di particolari non linearità inserite in un loop di controreazione. Dovrà essere introdotta la funzione descrittiva ed il suo utilizzo nella determinazione del possibile instaurarsi di cicli limite. Questi dovranno essere descritti e caratterizzati per il loro comportamento stabile o instabile. Cenni potranno essere fatti sull’uso del “piano delle fasi”.

Rappresentazioni Ingresso-Stato-Uscita

V.O.

FdA ( V.O.

Risposta libera e risposta forzata

Il candidato dovrà ricavare le espressioni delle due risposte. Potranno essere mostrati i legami con le analoghe espressioni della rappresentazione ingresso-uscita (FdT) ed in particolare potrà essere illustrato un metodo di calcolo dell’esponenziale di matrice mediante la trasformata di Laplace.

Calcolo di exp(At) con autovalori ed autovettori

Si dovrà illustrare come, attraverso il calcolo degli autovalori e degli autovettori di una matrice, sia possibile eseguire più facilmente il calcolo dell'esponenziale di matrice.

Passaggio dalla FdT alla forma diagonale o alla forma canonica di Jordan mediante decomposizione in poli e residui

Il candidato deve mostrare come attraverso la decomposizione in poli e residui il sistema nella rappresentazione ingresso-uscita possa essere posto come somma di catene di poli semplici che danno origine a blocchi di Jordan di ordine pari alla lunghezza delle catene. In particolare, in caso di poli distinti, il sistema risulterà espresso in una forma diagonale.

Passaggio dalla FdT alla forma canonica compagna

Il candidato deve dimostrare che è sempre possibile passare da una rappresentazione ingresso-uscita ad una particolare rappresentazione ingressso-stato-uscita, illustrando le caratteristiche salienti di quest’ultima.

Passaggio dalla rappresentazione VdS alla FdT

E’ richiesto di ricavare l’espressione che fornisce la matrice di funzioni di trasferimento tra gli ingressi e le uscite di un sistema rappresentato nello spazio di stato. Dovranno essere evidenziate le problematiche relative a possibili cancellazioni di dinamiche e la corrispondenza tra i poli e gli autovalori di un sistema.

Cambiamenti di coordinate

Deve essere illustrato come con la sostituzione x=Tz si arrivi ad una rappresentazione equivalente in termini di autovalori. Sarà utile a tal scopo illustrare il Teorema di Cayley-Hamilton sul polinomio caratteristico.

Cambiamenti di coordinate per la forme canonica compagna (di controllore)

E' richiesto di illustrare il particolare cambiamento di variabile che consente, sotto alcune condizioni, di porre un sistema nella forma canonica compagna (di controllore)

Diagonalizzazione (disaccoppiamento delle dinamiche)

Il candidato dovrà introdurre il tema delle trasformazioni di coordinate, ed in particolare illustrare quella basata sul calcolo degli autovalori ed autovettori e quindi in grado di diagonalizzare un sistema. Dovranno essere discussi i vantaggi di questa nuova rappresentazione disaccoppiata delle dinamiche.

Definizione di stato e di sistema controllabile

Dovranno essere fornite le definizioni di stato controllabile e di sistema controllabile, la condizione necessaria e sufficiente (questa con dimostrazione) affinché un sistema sia tutto controllabile e la sua relazione con la matrice di raggiungibilità.

Decomposizione di Kalman nei sottosistemi controllabile e non

Il candidato dovrà definire la trasformazione in grado di decomporre tutto lo spazio di stato nei sottospazi controllabile e non controllabile dandone la forma canonica di Kalman.

Definizione di stato osservabile e di sistema osservabile

Dovrà essere fornita la definizione di stato indistinguibile dall’origine e di sottospazi/sistemi osservabili e non osservabili. Dalla definizione dovrà essere ricavata la matrice di osservabilità.

Decomposizione di Kalman nei sottosistemi osservabile e non

Il candidato dovrà definire la trasformazione in grado di decomporre tutto lo spazio di stato nei sottospazi osservabile e non osservabile dandone la forma canonica di Kalman.

Assegnazione degli autovalori con reazione dallo stato

Il candidato dovrà mostrare come, sotto opportune ipotesi di controllabilità, sia possibile trovare una matrice di controreazione dallo stato in grado di assegnare un nuovo polinomio caratteristico ad un sistema espresso sotto forma canonica compagna, prima, ed in generale, poi.

Assegnazione degli autovalori con reazione dall’uscita

Il candidato dovrà mostrare come, sotto opportune ipotesi di controllabilità e di osservabilità, sia possibile costruire un nuovo sistema dinamico (osservatore) in grado di inseguire con una certa dinamica le traiettorie dello stato e quindi, tramite una matrice costante, assegnare gli autovalori più opportuni alle dinamiche del sistema originario.

Sistemi a Segnali Campionati

FdA ( V.O. e D.M. 270)

CdA ( L.S.)

Teorema del campionamento (spettro di un segnale campionato, ricostruttore di Shannon)

Dovrà essere introdotto il concetto di segnale campionato rappresentato come sequenza di impulsi e quindi, dopo averne ricavato la trasformata di Fourier, il candidato dovrà mostrare come sia possibile, sotto opportune ipotesi, ricostruire il segnale di continuo di partenza tramite il ricostruttore ideale di Shannon. Dovranno essere messe in evidenza tutte le problematiche collegate a tale ricostruttore e quali difficoltà si incontrano nel momento in cui si pensi di utilizzare l’organo di tenuta di ordine zero al suo posto. Dovrà essere illustrato il problema dell’aliasing e come possa essere evitato in un sistema di controllo a segnali campionati.

Organo di tenuta

Il candidato dovrà ricavare la funzione di trasferimento dell’organo di tenuta e la sua approssimazione a basse frequenze evidenziando le problematiche associate al suo uso in un sistema di controllo a segnali campionati.

Trasformata Z

Dovrà essere fornita la definizione di trasformata Z per una sequenza di campioni e come essa possa essere proficuamente utilizzata nell’analisi di un sistema di controllo a segnali campionati.

Trasformazione esatta da F(s) ad F(z)

Il candidato dovrà mostrare come sia possibile ricavare la funzione di trasferimento discreta di un sistema campionato partendo dalla sua rappresentazione ingresso-uscita. Dovrà essere illustrato il metodo della decomposizione in poli e residui.

Mapping dal piano S al piano Z

Data la trasformazione esatta tra s e z, il candidato dovrà mostrare la corrispondenza tra il semipiano sinistro del piano S con il domino definito sul piano Z contenuto all’interno della circonferenza unitaria.

Modi propri d’evoluzione di un sistema discreto

Il candidato dovrà analizzare i modi propri di un sistema discreto, facendo riferimento alle loro evoluzioni in funzione della posizione dei poli sul piano Z.

Trasformazioni approssimate dal piano S al piano Z

Dovranno essere illustrate le tecniche approssimate per trasformare una funzione di trasferimento continua in una discreta, ricavandone le opportune espressioni come approssimazione dell’integrale e mostrandone i limiti di utilizzo in funzione delle loro proprietà di mappatura del semipiano sinistro del piano S sul piano Z.

Metodologie di sintesi di sistemi di controllo a segnali campionati

Il candidato dovrà illustrare le due principali metodologie  di sintesi dei regolatori discreti, ovvero, quella che fa riferimento discretizzazione di controllori sintetizzati nel continuo, e quella che, a partire dalla discretizzazione del processo da controllare, si muove su tecniche di sintesi  proprie dei sistemi discreti.

Regolatore PID discreto

Partendo dall’espressione del controllore PID continuo, il candidato dovrà trasformarlo in un controllore discreto mostrandone la struttura e le modalità d’impiego.

Regolatore Dead-Beat

Dovrà essere mostrato come, sotto opportune ipotesi che garantiscano l’assenza di cancellazioni di dinamiche instabili, sia possibile sintetizzare un controllore in grado di realizzare una funzione di trasferimento a ciclo chiuso composta esclusivamente da un ritardo di n campioni.

Scelta del tempo di campionamento

Il candidato dovrà illustrare come la scelta del tempo di campionamento non sia soltanto legata al soddisfacimento del teorema di Shannon, ma anche a problematiche che riguardano, tra le altre cose, il passo di quantizzazione e la lunghezza di parola del processore utilizzato.

Identificazione parametrica

Il candidato dovrà esporre il problema della stima dei coefficienti di un sistema attraverso l'analisi di sequenze di campioni dell'ingresso e dell'uscita. Dovrà illustrare come detto problema si possa ricondurre ad un problema di ottimizzazione ai minimi quadrati e quindi possa essere risolto tramite il calcolo della pseudoinversa della matrice delle misure.